| Non Euclide Nel 1733 G.Saccheri e cinquant’anni dopo J.H.Lambert tentarono di dimostrare il quinto postulato di Euclide (Links) per contraddizione, cioè utilizzando il suo opposto nelle derivazioni fino ad arrivare ad una contraddizione, che mostrasse l’erroneità dell’opposto e la correttezza del quinto postulato. Non riuscirono nell’impresa ma aprirono la strada alla geometria non-euclidea (Links). Euclide stese i postulati utilizzando il linguaggio quotidiano e non un linguaggio formalizzato. Il rigore stava nei successivi passaggi delle sue dimostrazioni. I termini di ‘punto’ e ‘retta’ dei postulati sono sempre stati associati ai concetti di ‘punto’ e ‘retta’ usati quotidianamente, poiché non venivano definiti esplicitamente ; Euclide stesso considerava i suoi punti e rette proprio i punti e le rette del mondo reale. L’intuizione che portò nel 1823, separatamente ma quasi nello stesso tempo, J.Bolyai, N.Lobacevskij, A.M.Legendre e il gruppo di Gauss a superare Euclide (Links), fu quella di non accontentarsi del significato comune dei concetti di ‘punto’ e ‘retta’, ma di accettarne altri; il loro significato emerge a posteriori dall’insieme delle proposizioni in cui tali concetti compaiono , ed è diverso se si accetta o si nega il quinto postulato (Hofstadter). Consideriamo un postulato sulle parallele ad esso equivalente : Data una qualsiasi retta ed un punto esterno ad essa, esiste una ed una sola retta che passa per quel punto e non interseca mai la retta data, per quanto la si prolunghi. Se lo si accetta, siamo nella geometria euclidea ; se si afferma che tale retta non esiste, siamo nella "geometria ellittica" ; se si afferma che ne esistono almeno due, siamo nella "geometria iperbolica". La "geometria ellittica" è visualizzabile come punti e rette su una sfera, invece che su un piano. Un ‘punto’ sarà costituito da due punti diametralmente opposti sulla sfera ; una ‘retta’ sarà un cerchio massimo sulla sfera ; non esistono dunque due ‘rette’ parallele. a a
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