Il "Teorema di incompletezza" di K.Gödel Gödel Church e Tarski Gödel Nel 1931 K.Gödel (Biblio,Links) pubblicò il "Teorema di incompletezza" che mostrava l'impossibilità dell'impresa proposta da Hilbert e indicava che per dimostrare la coerenza dei PM serve un sistema più complesso e potente. Questo teorema dimostrò che i PM contengono una proposizione indecidibile, e dunque, o sono incompleti o sono incoerenti. Ma la cosa più sconvolgente fu che tali conclusioni potevano applicarsi a tutti i sistemi assiomatici affini ai PM, cioè sistemi abbastanza complessi da costituire una aritmetica. Per giungere al Teorema, Gödel introdusse nei PM qualcosa di analogo al paradosso di Epimenide, un enunciato matematico autoreferenziale. Gödel si concentrò sui numeri naturali , quindi sulla sola aritmetica. Egli attuò una codifica, cioè una traduzione numerica degli enunciati ; il sistema formale così ottenuto permette ad un enunciato non solo di parlare dei numeri naturali, ma di parlare di altri enunciati, ed in particolare di sé stesso. Ogni enunciato può essere riferito ai numeri o ad altri enunciati. Siamo propriamente nell’ambito della metamatematica, in violazione della Teoria dei tipi logici. L’equivalente della frase di Epimenide è un enunciato G che dice : g Questo enunciato dell’aritmetica non ammette alcuna dimostrazione nel sistema dei PM. Se lo si dimostra, si dimostra la sua indimostrabilità. Dunque G è vero, poiché non è dimostrabile ; è vero ma indimostrabile partendo dagli assiomi del sistema , cioè non è un teorema dei PM. G è ‘indecidibile’ e il sistema è incompleto, poiché vi è almeno un enunciato vero dell’aritmetica (G) non derivabile dai suoi assiomi. Applicando G ad un qualsiasi altro sistema assiomatico, sostituendo in G tale sistema ai PM, il sistema viene scardinato. Ecco una parafrasi del "Teorema di incompletezza" nella lingua italiana : Tutte le assiomatizzazioni coerenti dell’aritmetica contengono proposizioni indecidibili. Sia G che ¬ G non sono teoremi del sistema e sono indecidibili ; per uscire dall’impasse è necessario assumere G o ¬ G come nuovo assioma del sistema. In tal modo abbiamo creato un nuovo sistema , più ‘potente’. A sua volta, però, questo sistema avrà un enunciato simile a G, chiamiamolo H, indecidibile, che ne mina la completezza ; si dovrà dunque assumere H o ¬ H come nuovo assioma, creando un nuovo sistema ; ma a sua volta........Tale procedimento è, potenzialmente, infinito. In modo scorretto, noi accettiamo implicitamente dei presupposti le cui basi sono invece mobili e relative ad altri presupposti ; ciò richiama alla mente i risultati di Einstein, per cui un sistema di coordinate è sempre relativo ad un altro sistema di coordinate . conclusioni Il "Teorema di incompletezza" ci obbliga a considerare imperfetti tutti i sistemi assiomatici, mostrandoci il baratro della ricorsività della dimostrazione. Anche volendo fermarsi ad un particolare livello, come ad esempio l’aritmetica usata normalmente, il Teorema di Gödel ci presenta un bivio (o meglio, un trivio) e ci obbliga a scegliere : o salvare la coerenza, e quindi completare il sistema aggiungendo G oppure ¬ G come assiomi; oppure tenersi la contraddizione : G e ¬ G contemporaneamente ; quest’ultima possibilità nega, però, le basi della logica fino a Gödel usata, che fondavano anche la razionalità scientifica, e cioè il dualismo vero/falso. I fisici devono dunque scegliere quale matematica usare, oltre a scegliere, come abbiamo visto in precedenza, quale geometria usare. E lo stesso devono fare i logici. La limitazione imposta da Gödel obbliga ad accettare la contraddizione o a superarla passando ad un sistema più ampio. Mostra i limiti della visione dualistica della matematica e della scienza : il dualismo verificabilità/falsificabilità, il dualismo soggetto/oggetto e osservatore/osservato ; la matematica è inscindibile dal matematico. La matematica non può fondarsi da sola, come proponeva Hilbert ; è necessaria, almeno, la metamatematica. Così la scienza, anche se raggiungesse il rigore dei sistemi formali, ne avrebbe gli stessi limiti. Church e Tarski Possiamo aggiungere due teoremi che, come quello di Gödel, utilizzano enunciati autoreferenziali e pongono ulteriori limiti ai sistemi assiomatici. Il primo fu dimostrato dal logico A.Church nel 1936 ed è così parafrasabile : "Non esiste un metodo infallibile per discriminare i teoremi di un sistema formale dai non-teoremi" (Hofstadter trad.it.p.606). L’altro fu dimostrato da A.Tarski (Biblio,Links) nel 1933; egli introdusse nei sistemi formali il paradosso di Epimenide, così com’è, mentre Gödel l’aveva trasformato nel senso della ‘dimostrabilità’. L’enunciato immesso dice : Questo enunciato è falso. Ovviamente non si può decidere nulla sulla verità o falsità di tal enunciato. Il teorema di Tarski, per generalizzazione, è così traducibile : "Non esiste un metodo infallibile per discriminare gli enunciati veri dell’aritmetica da quelli falsi" (Hofstadter trad.it.p.626). Se Gödel aveva evidenziato che la nozione di ‘dimostrabilità’ è più debole di quella di ‘verità’ (poiché vi sono enunciati veri non dimostrabili), Tarski fa vacillare lo stesso concetto di ‘verità’ aritmetica.